'컴퓨터 아키텍쳐' 시리즈
  1. [CA] Computer Abstractions and Technology
  2. [CA] Computer Abstractions and Technology
  3. [CA] Instructions: Language of the Computer
  4. [CA] Arithmetic for Computers
  5. [CA] The Processor - Unipipelined Datapath (1)
  6. [CA] The Processor - Unipipelined Datapath (2)
  7. [CA] The Processor - Unipipelined Datapath (3)
  8. [CA] Memory System (1)
  9. [CA] Memory System (2)
  10. [CA] Memory System (3)

✦ Integer Operations

◆ Integer Addition

  • Range 를 벗어나면 Overflow 발생
    • + + - → overflow 발생 X
    • + + + → overflow (underflow) 발생 가능 (MSB 가 1)
    • - + - → overflow 발생 가능 (MSB 가 0)

◆ Integer Subtraction

  • 두 번째 operand 를 negation
  • ex) 7 - 6 = 7 + (-6)
  • Range 를 벗어나면 Over flow 발생
    • + - + / - - - → overflow 발생 X
    • + - - → overflow (underflow) 발생 가능 (MSB 가 1)
    • - - + → overflow 발생 가능 (MSB 가 1)

◆ Overflow

  • 일부 언어 (C) 는 overflow 무시
    • MIPS 의 addu, addui, subu 명령어 사용
  • 다른 언어는 exception 발생 요구
    • MIPS 의 add, addi, sub 명령어 사용 → flag bit set
    • overflow 시 exception handler 호출

◆ Multiplication

  • Optimized Multiplier
    • Multiplier → Product 하위 32 bit 로
    • Multiplicand 고정

  • MIPS Multiplication
    • 특수 register
      • HI : 앞쪽 32 bit
      • LO : 뒤쪽 32 bit
    • Instruction
      • mult rs, rt / multi rs, rt
        • 64 bit 곱셈
      • mfhi rd / mflo rd
        • HI / LO → rd 로 옮기기
        • 곱셈이 32 bit 넘는지 HI 값으로 체크 가능
          • MIPS에서 곱셈 오버플로우 체크
          • 왜 HI로 체크하냐? 32-bit × 32-bit = 최대 64-bit 결과가 나옵니다.

근데 우리가 보통 결과를 32-bit 레지스터 하나에 담으려 하잖아요. 그러면 상위 32-bit (HI) 에 의미 있는 값이 남아있으면 → 오버플로우입니다.

64-bit 결과
┌──────────────┬──────────────┐
│      HI      │      LO      │
│  상위 32-bit │  하위 32-bit │
└──────────────┴──────────────┘
       ↑
  여기가 0이면 → 32-bit에 담을 수 있음 (no overflow)
  여기가 0이 아니면 → 오버플로우!

    - **체크 방법** `mult` 실행 후 `mfhi` 로 HI 값을 꺼내서 직접 확인합니다.

mult $s0, $s1       ; 곱셈 실행
mfhi $t0            ; HI 값을 $t0에 복사
bne  $t0, $zero, overflow  ; HI != 0 이면 오버플로우
mflo $t1            ; 정상이면 LO에서 결과 가져옴`

    - **mult vs mul 차이**
명령어 동작 오버플로우 체크
mult rs, rt 결과를 HI / LO에 저장 프로그래머가 직접 HI 확인
mul rd, rs, rt LO만 rd에 바로 저장 체크 안 함 
- `mul rd, rs, rt` 
  - rd = rs * rt (아래 32-bit 곱하기)

◆ Division

  • 0 으로 나누는지 check
  • divisor ≤ dividend : 나누기 가능
  • divisor > dividend : 나누기 불가능

  • Optimized Divider
    • Multiplier 와 유사
  • MIPS Division
    • 특수 register
      • HI : 앞쪽 32 bit
      • LO : 뒤쪽 32 bit
    • Instruction
      • div rs, rt / divu rs, rt
        • 64 bit 나눗셈 → overflow / 0으로 나누기 check X
      • mfhi rd / mflo rd
        • result 접근

✦ Floating Point

  • 정수가 아닌 숫자 표현 (매우 큰 & 매우 작은 숫자)
    • Precision : 정밀도
    • Dynamic number : 동적 범위

  • in Binary Number \pm1.\text{xxxxxxx}_2 \times 2^{\text{yyyy}}

  • C
    • float (single) : 32-bit
    • double : 64-bit
  • Precision Range
    • Exponent 000..000 / 111..111 은 예약 → 사용 불가
    • Single
      • 가장 작은 값
        • Exponent = 00000001 (1 - 127 = 126)
        • Fraction = 000…00 (1.0)
        • \pm1.0 \times 2^{-126} \approx \pm1.2 \times 10^{-38}
      • 가장 큰 값
        • Exponent = 11111110 (254 - 127 = 127)
        • Fraction = 111..11 (2.0)
        • \pm2.0 \times 2^{127} \approx \pm3.4 \times 10^{38}
    • Double
      • 가장 작은 값
        • Exponent = 00000000001 (1 - 1023 = -1022)
        • Fraction = 000..00 (1.0)
        • \pm1.0 \times 2^{-1022} \approx \pm2.2 \times 10^{-308}
      • 가장 큰 값
        • Exponent = 11111111110 (2046 - 1023 = 1023)
        • Fraction = 111..11 (2.0)
        • \pm2.0 \times 2^{1023} \approx \pm1.8 \times 10^{308}
  • Relative Precision (상대 정밀도
    • fraction 의 모든 bit 가 precision 에 기여
    • Single → 소수점 6자리까지 신뢰 가능
    • Double → 소수점 16자리까지 신뢰 가능
  • 예약된 Exponent?
    • Exponent = 00000000
      • 원래 fraction 에는 기본 1 + 0.XXXX
      • 만약 Exponent 가 전부 0이면 hidden bit 가 0으로 변함

      • 더 작은 숫자 표현 가능 x = (-1)^S \times (0 + \text{Fraction}) \times 2^{-\text{Bias}+1}

      • 0 근처에서 정밀도를 잃지 않기 위해
      • 단점 : 0 표현이 2개 생김 x = (-1)^S \times (0 + 0) \times 2^{-\text{Bias}} = \pm 0.0

◆ FP Addition

  • Decimal / Binary 동일
    1. 큰 쪽으로 지수 맞춰주기 (in decimal/binary)
    2. significand 끼리 더하기
    3. 결과 normalize & over/underflow 검사
    4. 필요 시 rounding & renormalize

  • Example

  • int adder 보다 복잡
    • 여러 clock cycle 필요 → pipelined 가능

◆ FP Multiplication

  • Decimal / Binary 동일
    1. 지수끼리 더하기 (맞출 필요 X)
    2. Significand 끼리 더하기
    3. 결과 Normalize & over/underflow 검사
    4. 필요 시 rounding & renormalize
    5. 부호 결정

  • Example

  • FP adder 랑 비슷한 복잡도

◆ FP Instructions in MIPS

  • FP Operations
    • addition. subtraction, multiplication, division, reciprocal, square-root
    • FP ↔ integer conversion → 보통 여러 cycle 걸림 (pipelining 가능)
  • FP Hardware 는 CPU 와는 다른 coprocessor 도 동작
  • FP register
    • $f0, $f1, …, $f31 → 32-bit single
    • double 은 $f0 & $f1 처럼 두 개 묶어서 사용
  • FP 명령어들은 FP register 로만 작동

◆ Accurate Arithmetic

  • 추가적인 rounding control 용 bit
    • guard bit
    • round bit
    • sticky bit
  • rounding mode 설정
    • RTZ : 버림
    • RTPI : 올림
    • RTNI : 내림
    • RTNE : 반올림

✦ Subword Parallellism

  • 큰 bit 단위 1 번의 연산 보다 작은 bit 단위의 여러 번 연산이 나은 경우 有
  • Example - 128-bit adder
    • 8-bit adder × 16
    • 16-bit adder × 8
    • 32-bit adder × 4
  • Subword Parallellsim = Data-level parallelism (GPU 에서 사용)
  • Single Instruction, Multiple Data (SIMD) : 동일 data type 의 여러 data 를 하나의 명령어로
    • SISD : single instruction single data → Chapter 4
    • SIMD : single instruction multiple data → GPU, NPU
    • MISD : not popular → network processor
    • MIMD : multi-core processor

◆ Streaming SIMD Extension 2 (SSE2)

  • 128-bit × 4 registers
    • multiple FP operands 로 사용 가능
      • 64-bit × 2 double precision
      • 32-bit × 4 double precision
    • 동시에 연산 진행
      • Single-Instriction Multiple-Data (SIMD)

✦ Pitfalls

◆ Right Shift and Division

  • left shift → 2배 커짐
  • right shift → 2배 작아짐?
    • unsigned integer : true
    • signed integer : 어떤 shift 인지 따라 다름
      • Arithmetic : sign bit 복사 → true
      • Logical : sign bit 복사 X → false

◆ Assiociativity (결합 법칙)

  • FP 에 대한 associativity 는 성립 X
  • 항상 over/underflow check 필요

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