[Silver / 17626] Four Squares

문제 링크

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🔷 분류

다이나믹 프로그래밍, 브루트포스 알고리즘

✒️ 문제 설명

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 5²과 1²의 합이다; 또한 4² + 3² + 1²으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 125² + 6² + 1² + 1²라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 105² + 15² + 8² + 5².

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

⬅️ 입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

➡️ 출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

💻 코드 (C++)

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int DP[50001];

int main() {
  ios::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0);

  int n;
  cin >> n;

  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    DP[i] = i; // 최악의 경우: 1^2을 i번 더한 경우
    for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
      DP[i] = min(DP[i], DP[i - j * j] + 1);
    }
  }

  cout << DP[n];
  return 0;
}